2012年1月3日(火)

>「プレイヤーの前に3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろにはヤギ(はずれを意味する)がいる。
>プレイヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。
>プレイヤーが1つのドアを選択した後、モンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
>ここでプレイヤーは最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更しても良いと言われる。
>プレイヤーはドアを変更すべきだろうか？」

「モンティホール問題」と呼ばれる有名な確率の問題です。
ウィキペディアにも非常に詳細な解答・解説が載っています。
検索すればさらにいくらでも解答・解説は出てきます。

ドアAをプレイヤーが選んで、モンティがドアCを開ける。
ここでプレイヤーはドアBに変更すべきか否か。
検索エンジンの検索結果を上から見ていくと、9割以上（というよりほとんど）が「正解は3分の1、3分の2だ」と書かれています。
ほとんどのサイトでは、「ドアを変更すべきだ」と書かれていて、図や表や数式を使って非常に詳細に解説してあります。
「直感では2分の1、2分の1だが、直感とは異なり、正解は3分の1、3分の2だ」と書かれています。
直感と実際の確率が異なるのでこれはパラドックスとかジレンマだ、と書かれています。

しかし、これは、正解はやはり「2分の1、2分の1」だと思います。
ドアを変更しても確率は高まりません。

その理由は、「確率が3分の2のままではドアBを選べないから」です。
プレイヤーがドアBを選ぼうをした瞬間にドアBが当たりである確率は2分の1になってしまうのです。

仮にプレイヤーがドアAを選んだ後もう他のドアは選べない、という条件ですと、
ドアAが当たりの確率は3分の1、ドアBが当たりである確率は3分の2です。
しかし、今プレイヤーは改めてドアAかドアBかを選ぶことができます。
そしてプレイヤーはドアAが当たりかドアBが当たりか全く分かりません。
ただ単にドアCがハズレであるということが分かっただけです。
一回目にドアAを選んだということはもう今は全く関係ないのです。

モンティがドアCを開けてくれたことにより、ドアCはハズレであることが分かった。
今改めてドアAかドアBを選ぶ、それだけのことなのです。

ドアが100枚の場合でも同じです。
ドアが100枚から2枚に減るのなら、ドアが減る分だけプレイヤーが有利になるだけです。

プレイヤーはドアが何枚であろうと最後まで正解を知らない、
モンティは正解を知っているが、プレイヤーにはそのことは全く関係がない、
プレイヤーは今あるドアの中から当たりを選ぶだけだ、
ということを考えていきますと、正解は「2分の1、2分の1」であることが分かります。